Sonsuzluk Üzerine





Sonsuzluk, çoğumuz için çelişkilerle dolu bir kavram. Sonsuz bir elma yığınına bir elma eklerseniz, yığın sonsuz olmaya devam eder; büyüklüğü de bir öncekiyle aynıdır. Eğer bankanızın kasasında sonsuz sayıda banknot varsa, bir milyonunu alsanız da bankanın bir kaybı olmayacaktır. Hatta, sonsuz sayıda banknot alsanız bile, bankanın kaybının olmayacağı bir yöntem bile vardır.

Eğer şimdiden aklınız karıştıysa endişelenmeyin; bu, aklınızın gerektiği gibi çalıştığının bir göstergesi. Sonsuzluk konusunda düşünmeye başladığınızda tehlikeli bölgeye girmiş olursunuz. Bu yalnızca felsefi bir tehdit değil, aynı zamanda matematiğin bir sorunu. Matematikçiler, sonsuzluğu akıllarından silip atmaya dünden hazırlar; ama onları engelleyen bir şey var: sonsuzluğun, yok sayılamayacak ölçüde yararlı bir kavram olması. Gerçekte var olmasa bile, matematik buram buram sonsuzluk kokar. Birçok bakımdan matematiği matematik yapan da bu.

"Sonsuzluk"tan kastettiğimiz ne? Gündelik, sezgisel düzeyde sonsuzluğun temel niteliği, büyük olması. Çok büyük. Hayır, bundan da büyük. Düşünebileceğinizden de büyük. Akıl almaz bir büyüklük. Çocuklar saymayı öğrenirken, genellikle çok büyük sayılara -milyon, milyar, trilyon- ilgi duydukları bir dönem geçirirler. Çoğu, olanaklı en büyük sayının ne olduğunu düşünür. Kısa sürede, bir "en büyük sayı" olamayacağını, eğer olsaydı, ona 1 ekleyerek daha büyük bir sayı elde edileceğini akıl ederler.

Sayma sayıları hiç durmadan büyür ve hiçbir zaman tükenmez. Bir anlamda sonsuzdurlar. Ama bunun anlamı nedir? Sonsuzluğun, durmadan sayma sonucunda erişilen bir sayı olmadığını vurgulayalım. Her sayma sayısı, ne denli büyük olursa olsun, sonludur. Bu bağlamda "sonsuz"un böyle bir sayı olmadığı anlamı çıkar. Sonsuz, yeni sayılar oluşturmanın hiç bitmeyeceğini söyleyen bir mecazdır.

Matematikte sonsuz konusundaki ilk ciddi çalışma, Eski Yunan'a ve Öklid ' in asal sayılar konusundaki çalışmasına gider. Öklid, Elemanlar adlı eserinde (ilk geometri metni) "Asal sayılar, verilen herhangi bir asal sayı çokluğundan daha fazla sayıdadır" önermesini ispatlar. Başka deyişle, sonsuz sayıda asal sayı vardır.

Filozoflar bu tür kavramları "gizil sonsuz" olarak tanımlar ve gerçekte ona hiçbir zaman ulaşamayacağınız için, onun görece zararsız bir sonsuzluk olduğunu düşünürler. Sonsuzluğun, gerçekten tehlikeli gibi görünen başka türleri de var.) Gizil (potansiyel) sonsuzluk, matematik tarihinin son derece önemli bir noktasında sorunu çözmüş oldu. Godfried Leibniz ve Isaac Newton kalkülüsü icat ederken, sonsuzun yakın bir akrabası olan "sonsuz küçük" (infinitesimal) ile yüzleşmek zorunda kaldılar.

Eğer sonsuzu, sonlu her sayıdan büyük olan birşey olarak düşünürseniz, sonsuz küçük de sıfır olmayan, ama, sıfır olmayan her sayıdan küçük olan "birşey"dir. Başlangıçta matematikçi ve filozofların bu kavram konusunda kafaları epey karıştı; çünkü temel bir noktayı farkedemediler. Sonsuz, nasıl öteki sayılar gibi bir sayı olamazsa, sonsuz küçük de öteki savılar gibi bir sayı olamazdı. Sıfır olmayan her sayıdan küçük olan tek sayı sıfırdır; ancak, sonsuz küçüklerin var olmaları için öne sürülen gerekçe, sıfır kullanmayı önlemekti.

Sonunda matematikçiler "sonsuz küçük"ün bir sayı değil, bir süreç olduğunu anladılar. "Saymayı sürdürme" sürecinin "sonsuz" yerine geçen uygun bir süreç oluşturması gibi, "küçültmeyi sürdürme" de "sonsuz küçük" yerine geçen bir süreç geliştirir.

Bu yolla sonsuz, arka kapıdan içeri alınırken saygınlığını da yitirmiyor. Hatta kendine bir simge bile ediniyor:


. Sonsuzluk, bizim sıfıra bölme gibi yasaklanmış şeyleri yapmamıza izin verir. Bir matematikçinin 1/0 = sonsuz yazarken kastettiği, 1'i 0'a bölünce sonsuz çıkacağı değil. Söylediği, x sayısı sürekli küçülerek sıfıra yaklaşırsa 1/x'in, herhangi bir sınır olmaksızın giderek büyüdüğü. Yine de, gizli kurallar, ancak çok üst düzey bir matematikçinin bu şekilde yazmasına izin verir.

Günümüz matematik, fızik ve öteki bilimlerinin çok büyük bir kesimi, Newton ve Leibniz ' in kalkülüsüne dayanır; bu da bizim sonsuz (sonsuz büyük ya da küçük) kavramını daha dar sınırlar içinde belirlememizin önemini vurgular. Gizil sonsuzu bir sürecin kısa yazılışı olarak tanımlamâk, daha önceki matematikçilerin belirsizlik içeren çok ilginç, bir o kadar da sinir bozucu çalışmalarına anlam vermeyi olanaklı kılmıştır.

Sözgelimi, sonsuz tane sayıyı toplayarak, gerçekten anlamlı sonuçlar bulabilirsiniz. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...vb.nin sonsuza kadar toplamı nedir? Dizinin herhangi bir yerinde durmanız, işi hayli karıştırabilir. Örneğin, ... + 1/1024'te durursanız, toplam 1023/1024 olur. Ama sonsuza kadar devam ederseniz, sonuç 1'dir. Tam olarak 1.

Sonsuzluğu bir süreç olarak tanımlamak, matematikçilerin, Eski Yunan fılozof ve matematikçisi Zeno 'nun ileri sürdüğü paradoksları çözümlemelerini sağlar. Bunlardan en bilineni, tavşanla kaplumbağanın yarışı. Kaplumbağa tavşanın yarım km önünden başlar ve tavşan kaplumbağanın iki katı hızla koşar. Tavşan yarım km çizgisine geldiğinde, kaplumbağa dörtte bir ilerdedir tavşan 3/4 km noktasına ulaştığında kaplumbağa 1/8 km daha ilerlemiştir. Tavşan bu 7/8 noktasına vardığında, kaplumbağa yine daha ileriye gitmiştir, vs. Zeno, tavşanın kaplumbağayı yakalaması için sonsuz sayıda koşular yapması gerektiği sonucuna varır ki, bu da anlamsızdır.

"Sonlu bir zaman içinde sonsuz sayıda şey yapılabilir mi?" gibi derin konuları bir yana bırakırsak, mantıkta bir boşluk olduğu ortada. Zeno, tavşanın 1/2 km, 3/4 km, 7/8 km ... vb. yol aldığında kaplumbağaya yetişemediğini ispatlıyor. Bu tümüyle doğru olsa da, konuyla pek ilgili değil. Bir şeyi kovalarken onu yakalamadığınız bir çok nokta olur. Asıl soru şu: Onu nerede yakalarsınız? Tavşanın kaplumbağayı yakaladığı yer, tam olarak 1 km ötesidir. Tavşan 1 km koştuğunda kaplumbağa yarım km gitmiştir; başlangıç noktası hesaba katıldığında aynı noktada olurlar. Bunu görmenin bir başka yolu şu: Kaplumbağayı yakalamak için tavşanın katettiği yol 1/2 + 1/4 + 1/g + ", km'dir. Bu dizi hiç durmadan uzar gider ve toplamı 1'dir. Bu, tavşanın ilelebet koşması demek değildir; çünkü geçen zaman da uzaklıklarla aynı ölçüde küçülür.

Bu çözüm, matematikçiler için sonsuz kavramının vazgeçilmez olduğunun kanıtlarından yalnızca biri. Ancak sonsuz, gereksinimden öte birşey. Sonsuz, aynı zamanda matematikle gerçek dünya arasındaki ilişki konusunda temel bir içgörü sağlar.


Klasik matematikte "sonsuzluk" kavramının çoğu kullanımı, gerçekte "gizil sonsuzluğun" kullanımını içerir ve gerçek dünyanın, sonlu nicelikler kullanarak elde edemediğimiz modellerini sağlayan süreçler olarak ifade edilebilirler. Şimdiye dek incelediğimiz gizil sonsuzlara -hiç son bulma- yan diziler içeren sonsuzlara- tepkiniz her ne olduysa, bunlar aklınızı başınızdan alacak sonsuzlar değil. Siz hele bir de Georg Cantor 'un aklını gerçekten başından alan gerçek sonsuzları görün!

Rus doğumlu Alman matematikçi Cantor, 1874'te bazı sonsuzların ötekilerden büyük olduğunu keşfetti. Birkaç yıl içinde de sinirsel bir bunalıma girdi. Çalışmasının giderek çığrından çıktığını düşünen çalışma arkadaşlarıysa buna hiç şaşırmamışlardı. Cantor'a hakkını vermek gerekirse, hastalığının gerçek nedeni, yalnızlığı ve çalışma arkadaşlarının onun söylediklerini anlamamasının verdiqi bunalımdı. Onun çalışmalarını gerçekten kavrayabilenler, ancak daha sonraki nesillerin matematikçileri oldu.

Cantor'un geliştirmeye çalıştığı alan, günümüzde küme teorisi
olarak anılır. Bir küme, matematiksel öğelerin bir topluluğundan ibarettir. Sonlu kümeler sayılabilirler. Örneğin, elemanları 2, 3, 5 ve 7 olan kümede dört eleman vardır. Cantor, tamsayılar gibi sonsuz kümeleri saymaya çalışmamız durumunda ne olacağını düşünmeye başladı. Bu yolla sonsuz için bir tür ölçüm elde edildiqine karar vererek, ona "sonsuz kardinal" (kardinal sayı=sayma sayısı) adını verdi. Bunun ne anlama geldiğinden emin olmak için bu büyüklükteki sonsuzu H o sembolüyle gösterdi. Bu sembol İbranice "alef" harfiydi, 0 ise onun ilk sonsuz kardinal sayı oldugunu belirtiyordu. Bütün tamsayılar kümesinin eleman sayısı alef 0 oldugu gibi, elemanları tamsayılar kümesiyle bire-bir eşleştirilebilen bütün kümelerin eleman sayısı da aynıydı. Örneqin, çift sayılar kümesi şu şekilde eşleşebilir:

12345... 246810...

Çift sayılar, tamsayılar kümesinin her elemanını içermediği halde, her iki kümedeki eleman sayısı aynıdır.

Cantor daha sonra daha büyük görünen çeşitli kümelerin de (pozitif ve negatif tamsayıların birlikte oluşturduğu küme, hatta olanaklı bütün kesirlerin oluşturduğu küme gibi) alef 0 sayıda elemanları olduğunu ispatladı. Öyleyse, alef 0 "sonsuzluk" için şık bir sembol olsa gerek. 0 zaman sıfırı atıp sadece ~t , ya da ~ diyebilirdik. Ne var ki, Cantor daha sonra çok ilginç ve beklenmedik bir şey keşfetti: bazı kümelerin eleman sayısı alef 0'dan büyüktü.
Sözkonusu küme, yalnızca tamsayıları ve kesirleri değil, aralarındaki bütün sayıları da içeren "reel" sayılar kümesiydi. Bulduğu daha büyük tek küme bu olduğu için, ilk aklına gelen, ona "alef 1" demek oldu. Ancak, alef 0'dan bir sonra gelen kümenin bu olup olmadıqından emin olmadığını da itiraf ediyordu. Arada bir başka sonsuz olabilir miydi? Bu problem 1960'lara kadar çözülemedi. Çözülmeden kastettiğimiz, Amerikalı matematikçi Paul Cohen'in, yanıtın "evet ve hayır" olduğunu ispatlamasıydı. Yanıt, matematiğin sahip olmasını istediğiniz niteliklere bağımlıydı.

Bunun nedeni, matematiğin tanrı vergisi mutlak bir şey değil, bir insan yapıtı olmasıdır. Matematiksel süreçlerimizi oluştururken -özellikle sonsuzluk konusunda- koyacağımız matematiksel temellerde esneklik vardır. Bu nedenle Cantor'un iki yanıtından her biri, mantıksal olarak tutarlı olabilir.

Cantor'un en büyük başarılarından biri de, her çocuğun bildiğimiz tamsayılar hakkında keşfettiği şeyi yansıtır: bir "en büyük tamsayı" olmadığı. Ancak, Cantor çok daha ileri giderek, bir "en büyük sonsuz" da olamayacağını ileri sürdü. Sonsuz kardinaller listesi, Alef-0 ile başlayıp, her adımda daha da büyüyordu; hiç sonu yoktu.

Cantor'un düşünceleri, bize tuhaf gelse bile, temel nitelikte olmanın yanısıra birçok bilim alanında da yararlıdırlar. Matematiğin (örneğin olasılık teorisi), fiziğin (kuantum mekaniği ve kuantum teorisi), hatta biyolojinin (nüfus dinamikleri istatistik yoluyla sonsuzluğun farklı derecelerini anlamaya bağlıdır) temellerinde bunları görmek olası. Bu daha yüksek dereceden sonsuzluklarla çalışmak karmaşık ve zor bir süreç olabilir, ama büyüleyici sürprizlere de yol açar.

Bu, bizi çelişkili de olsa uygun bir sonuca götürür. Sonsuzluk bile -hangisini seçerseniz seçin- "var olan en büyük şey değildir". Her zaman daha büyük bir şey vardır. Ama sorun değil, sonunda onunla yaşamayı öğreniyorsunuz; özellikle onsuz yaşayamayacağınızı anlayınca.


Bilim ve Teknik Aralık 2003

__________________

Yalnız açığa çıkan ışığı görebiliyorsan,
Yalnız söylenen sesi duyabiliyorsan,
Ne görebiliyorsun,Ne duyabiliyorsun.