BÖLÜM-4
PERTÜRBASYON TEORİSİ
1)PERTÜRBASYON TEORİSİ:Küçük değişimler teorisidir. Bir çeşit yaklaşık hesap yöntemidir. En
geniş uygulama alanı atom fiziği ve parçacık fiziğinde bulur. Atomların enerji seviyeleri kuantumlu bölge
ve sürekli bölge olmak üzere iki biçimde ele alınır. Bu nedenle pertürbasyon da: 1)Bağımlı durumların
pertürbasyonu, 2)Sürekli bölge pertürbasyonu (saçılma teorisi) olarak iki bölümde ele alınır. Bağımlı
durumların pertürbasyonu da zamandan bağımsız ve zamana bağımlı olmak üzere iki ana başlık altında
toplanır. Pertürbasyon teorisinde; pertürbe olmamış hamiltoniyen H(0) ile pertürbasyon hamiltoniyeni H(1)
arasında H(1)<<H(0) ilişkisi vardır.
2)ZAMANDAN BAĞIMSIZ PERTÜRBASYON:
a)Dejenere olmayan ve durağan bir seviyenin zamandan bağımsız pertürbasyonu:
Bu konu literatürde Rayleigh-Schrödinger pertürbasyonu olarak bilinir. Bir sistemin toplam
hamiltoniyeni H=H(0)+H(1)=H(0)+H’ olup bunun çözümleri; En=En
(0)+En ve n=n
(0)+n şeklindedir.
Burada 10 aralığında düzeltme parametresidir. n fonksiyonu ve En pertürbe olmuş enerji =0
civarında Taylor serisine açılmakta ve Hn =Enn den ’ya göre pertürbasyonun mertebesi
belirlenmektedir. 00.mertebe, 11.mertebe, 22.mertebe....
i)Birinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda ank
(1)Ek
(0)+<k
(0)H’n
(0)>=En
(0)ank
(1)+An
(1)kn şeklindedir.
Buradan k=n dan; pertürbe edilmiş enerji
      ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 (
n n n n H E E
şeklinde bulunur. kn için de
k.pertürbe olmamış fonksiyonun pertürbe olmuş dalga fonksiyonuna katkısı
) 0 ( 0
) 0 ( ) 0 (
) 1 ( '
k n
n k
nk E E
H
a

 

şeklindedir. bu durumda birinci mertebeden pertürbe olmuş n. dalga fonksiyonu




   
   
n k
k
k n
n k
n n E E
H ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 1 ( ) 0 (
) 0 (
dır.
ii)İkinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda enerji ve dalga fonnksiyonlarına ikinci mertebeden yaklaşım
ek terimleri gelir. Enerji için bu
) 0 ( 0
2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 (
) 2 (
k n
n k
n k
n E E
H
E

 

 dur.
b)Durağan ve dejenere bir seviyenin pertürbasyonu: Herhangi bir seviyenin kaç katlı dejenere olduğu,
yani dejenereliğin mertebesi


  
1
0
2 ) 1 2 (
n
l
n n l D
olarak verilir. Atomlarda taban durumu hariç diğer
seviyeler dejeneredir. Dejenere seviyeleri ayırmak için atoma dışardan elektrik ve manyetik alan
uygulanır. Dejenere pertürbasyonun matematiği bir matrisi köşegen yapmaktan ibarettir. Herhangi bir n
seviyesi n2-katlı dejenere olmakla birlikte, matematiksel işlemleri kısa tutmak için n seviyesi 2-katlı
dejenere olarak kabul edilebilmektedir. Bu durumda En
(0)seviyesine karşılık n1
(0) ve n2
(0) gibi iki tane öz
fonksiyon vardır. Yarılmadan ortaya çıkan enerjiler ve bu özfonksiyonlar seriye açılarak, gerekli
matematiksel işlemler sonunda H11
(1)C11+H12
(1)=En1
(1)C11 ve H21
(1)C11+H22
(1)=En1
(1)C12 bulunur. Bu iki
denklem matris çarpımı şeklinde yazıldığında, çözüme sahip olması için, katsayılar determinantları
0 ) 1 (
1
) 1 (
22
) 1 (
21
) 1 (
12
) 1 (
1
) 1 (
11 


n
n
E H H
H E H
,
0 ) 1 (
2
) 1 (
22
) 1 (
21
) 1 (
12
) 1 (
2
) 1 (
11 


n
n
E H H
H E H
olmalıdır. Bu determinatlara seküler
determinantlar denir ve birinci mertebeden enerji düzeltmeleri buradan bulunabilir. Bu durumda yeni
baz vektörleri n1=C11n1
(0)+C12n2
(0) ve n1=C21n1
(0)+C22n2
(0) dır. Burada C112+C122=C212+C222=1 dir.
Bu pertürbasyon durumu için Stark Olayı önemli bir örnek oluşturur.
c)Varyasyon metodu: Bu metotta pertürbasyonun beklenen değerini hesaplamak yerine, Hamiltonifenin
kendisinin beklenen değerini hesaplamak isteriz, E=<H>. Hamiltoniyenin beklenen değeri o kuantum
sisteminin uygun bir parametresinin <H>=f(Z) fonksiyonu olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun minumum
değeri
0 ) ( 

  
Z
Z H
dan bulunur. İşte bu denkleme varyasyon ilke denklemi denir. Parametreye (Z)
göre türev alınarak bulunan ifadenin çözümünden elde edilen parametre değeri enerjinin minumumuna
(taban enerji seviyesine) karşılık gelen Zet (etkin) değerdir. Buna He atomu iyi bir örnektir.
3)ZAMANA BAĞLI PERTÜRBASYON:Zamana bağlı pertürbasyonda bir kuantum sisteminin içinde
bulunduğu kuantum seviyesinden, zaman içinde diğer bir kuantum seviyesine geçişin kuralları incelenir
ve belirlenir. Bu tür değişimlere, foton soğurulma ya da ,, ....parçalanmaları ve her türlü uyarılmalar
örnek oluşturur. Bu tür değişimler kendiliğinden oluşabileceği gibi, kuantum sistemi bir dış etken
(pertürbasyon) tarafından uyarılarak da oluşturabilir. Zamana bağlı pertürbasyonda bu geçişlerin hızının
bulunması ve sistemin ilk seviyede bulunma olasılığının azalışının ve son seviyede bulunma olasılığının
artışının hesabı yapılır.
a)Olasılık genliği ve geçiş hızı:Bu durumda olasılık genliği an(t)’ye de bağlı olarak dalga fonksiyonu
     e t
E
n n
n r t a t r  ) ( ) ( ) , (
dır. Hamiltoniyen operatörü H(t)=H(0)+H(1)(t) olup, Schrödinger denklemi de
H(r,t)=i [(r,t)/t] şeklindedir. H ve  yerlerine konup denklem çözüldüğünde geçiş hızı
 
n
t i
n kn
k kn e t a H
i dt
t da  ) ( 1 ) ( ) 1 (
 olur. Sistemin her hangi bir t anında k seviyesinde bulunma olasılığı ise,
2
) 1 (
2
2 ) 1 ( 1 ) ( 
 

t
t i
km k
km e H t a 
 dır. Bu birinci mertebeden yaklaşımdır.
b)Sabit pertürbasyon: Hkm
(1)’nin zamandan bağımsız olması durumundaki pertürbasyona sabit
pertürbasyon denmektedir. Bu durumda geçiş olasılığı
2
0 2
2
2 ) 1 (
2 ) 1 (
2
2
sin
. ) (







km
km
km
k
t
H
t a



dir. Bir m
seviyesinden k seviyelerine (k enerji bandı) toplam geçiş olasılığı, m seviyesindeki enerji yoğunluğuna
bağlı olarak,



 d
t
E
H
P m
km 
 
  





 2
0 2 2 ) 1 (
2
2
)
( sin
) (

şeklindedir.
c)Harmonik pertürbasyon: Pertürbasyon operatörünün zamana göre t Cos H t H  ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (  şeklinde
değişimi harmonik pertürbasyonu ifade eder. Bu durumda mk geçişinde pertürbasyon genliği;
   








 

   1
) (
1 1
) (
1
2
) 0 (
) ( ) ( ) (
) 1 (
) 1 ( t i
km
t i
km
km
k km km e
i
e
i i
H
t a    
     şeklinde olur. Burada kuantum
sisteminin kendi öztitreşim frekansı km, zorlayıcı dış etkenin frekensı da  dır. Bu durumda enerji farkı
E=   şeklinde olup, + uyarmalı salınım, - uyarmalı soğurma geçişini belirtir. =km rezonans şartında
sistem pertürbasyon alanından maksimum enerji soğurur.
d)Elektrik dipol seçim kuralları: Dış uyarıcı (pertürbasyon) ile oluşan geçişler için belirli kurallar
vardır. Elektrik dipol geçişler için pertürbasyon operatörü (yani rf alanı), elektrik dipol moment r e D  
 
olmak üzere, H(1)(t)=e.r.1Cost dir. Bir m seviyesinden k seviyesine geçiş olasılığı Pmk ‘da <kDm>=0
(yasaklı geçiş), <kDm>0 (izinli geçiş) söz konusudur. Dalga fonksiyonlarının paritesi
l ) 1 ( ile
belirlidir.  1   l şeklinde açısal momentum kuantum sayısındaki değişime elektrik dipol seçim kuralı
denir. Buna göre; elektrik dipol geçişler ancak farklı pariteli seviyeler arasında olabilmektedir. Bunun
dışında manyetik kuantum sayısındaki değişimlere bağlı olarak, m=0 (-polarizasyonu), m=1 (-
polarizasyonu) dır. Dış elektromanyetik alanların kuantum sistemlerini uyarması ile de geçişler olabilir.
Bu durum atomik sistemlerde çok-kutuplu ışımalara yol açabilmektedir...
Mehmet TAŞKAN
KAYNAKLAR:
1)”Kuantum Fiziği” –Prf.Dr.Erol AYGÜN-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları-
2.Baskı-1992
2)”Atom ve Molekül Fiziği”- Prf.Dr.Erol Aygün-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin-Ankara Üniversitesi
yayınları-1992
3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-Çevoç.Dr.M.Çetin-Doç.Dr.H.yıldırım-
Prf.Dr.Z.Gülsün. Dicle Ünv.yayınları-2,baskı-1989......
4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr C.J.Joachain, Çevirenler:Prf Dr F.Köksal, Prf
Dr H.Gümüş, On dokuz Mayıs Ünv.
5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr C.Önem, Erciyes Ünv, 3.baskı, Birsen Yay.
6)Physics-part 2, Prf Dr D.Halliday, Prf Dr R.Resnick, Wiley International Edition.
7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr T.Nuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2.Baskı.