Forum Aski - Türkiye'nin En Eğlenceli Forumu - 3. Dereceden Denklemler Cardano Formülleri

Birinci ve ikinci dereceden denklemler katsayılar
yardımıyla
kolayca çözülebilir. Yalnız 3.dereceden denklemlerin çözümü için Gerolamo Cardano’nun 1545 yılında geliştirdiği bir yöntemden yararlanabiliriz. Cardano bu yöntemi bulurken Tartoglia ve Fior isimli matematikçilerin çalışmalarından da yararlanmıştır.
Çözüm yöntemi aşağıda belirtildiği gibidir.

3. Dereceden Denklemlerin Çözülmesi

Cordano Formülleri

Üçüncü dereceden
ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminde bazı dönüşümler yaparak sonuca ulaşacağız.
Eğer bu denklemde x = y - dönüşümü yapılırsa
denklemi

y3 + halini alır.
p =

q = olmak üzere y3 + py + q = 0 şeklinde yeni bir dönüşüm yapmış olduk. Şimdi de bu denklemi çözmemiz gerekecek. Bunun için de ilk olarak y = dönüşümü yapıyoruz. Yeni dönüşümümüzle beraber y3 + py + q = 0 denklemi düzenlenirse;
şeklini alır.
ve bilinmeyenleri içeren bu yeni denklemde de . = dönüşümünü yaparak yerine yazıyoruz. Üstteki denklemin yerini = -q

. = sistemi almış oldu.
Son olarak
= N dönüşümüyle
M + N = -q

M.N = M ve N bilinmeyenler olmak üzere z2 + qz = = 0 denklemini elde ettik. Bu denklemin kökleri de 2.dereceden denklem çözümünden;

olur.
= M olduğundan
= 0
= 0 Buradan
 = 0  ve
 = 0

olmalı.
Benzer şekilde:

bulunur.
y = + olmak üzere toplayacağım ve değerleri
. = koşulunu sağlamalıdır.
görüldüğü gibi ve değerleri sağladı. Buda demektir köklerden biri y1 = + olacaktır.

değerleri alınırsa iken
olur
ve
olur
Buna göre

y = + olduğundan
y1 =
y2 =
y2 = bulunur. Yani

y1 =
y2 =
y3 =

Burada M =
N = idi.
Burada  = 4p3 + 27q2 işaretine göre köklerin durumunu inceleyebiliriz.

i)  = 4p3 + 27q2 > 0 ise:
M ve N birer gerçel sayıdır

dolayısıyla
y1 = kökü bir gerçel sayı

diğer iki kök ise eşlenik kompleks iki sayıdır.

ii)  = 0 ise:
M ve N = olur. Dolayısıyla
y1 = (Gerçel sayı)
y2 = y3 = (Gerçel sayı)
Yani 3 kök de gerçel sayı olur.

iii)  = 4p3 + 27q2 < 0 ise:
M ve N eşlenik kompleks iki sayı olur.
Bu durumda Cardano formüllerinde bulduğumuz y1

y2

y3 köklerinde bir gerçel sayı

ise gerçel kısmı 0 olan bir kompleks sayı olacağından y1

y2 ve y3 kökleri birer gerçel sayıdır.

y3 + py + q = 0 denkleminin kökleri y1

y2 ve y3 bu şekilde bulunduktan sonra x = y - dönüşümü kullanılarak ax3 + bx2 + cx + d = 0 denkleminin kökleri bulunur.