Boole Cebiri

[KaRaqiZz]

boole cebirinin özellikleri - boole cebirinin temel amacı - boole cebirinin tarihçesi
Her biçimsel ifadenin temelini oluşturacak mantık yapılarını mekanik olarak gerçekleştirmeye olanak sağlayan bir işlem yaratmak Boole Cebiri'nin temel amacıdır.

Ortaçağ'dan bu yana mantıkçılar, yargıya varabilen makineler yaratmaya çalıştılar. Bunların en ilginç olanı, Leibniz'in girişimidir. Bilgin, usavurumun doğru olup olmadığını otomatik olarak belirtmeye yarayan bir hesap işlemini geliştirmeye çalıştı. Leibniz'in bu çalışması uygulamada sonuçsuz kaldı. George Boole 1854'te An Investigation of the Laws of Thought (Düşünce Yasaları Üzerine Bir İnceleme) adlı eserinde mantıksal yargıya varmayı taklit eden gerçek bir cebir sundu. Kesin kurallara uyan bu cebir bugün "Boole Cebiri" olarak bilinir.

Boole cebirinde "veya" + olarak, "ve" - olarak ve "değil" ise bir çizgiyle gösterilir. Mesela , a'nın değildir; doğru 1 ile, yanlış 0 ile gösterilir. Bu işlemlerden hareketle, bazen olağan arit-metik hesaba benzeyen, bazen bundan uzaklaşan bir hesap ortaya çıkartılır. Harfler önerme-leri gösterir ve yalnız 0 veya 1 değerlerini alabilir; formüller ise önerme topluluklarını belirtir. Mesela aşağıda bazı formüller veriliyor.

a + a = a,

a + 0 = a,

a + 1 = 1,

a x a = a,

a x 0 = 0,

a x 1 = a.

İlk görüldüğünde garip gelen bu ifadeler, mantık diliyle yorumlanarak açıklanabilirler. Dolayısıyla a + 1 ifadesi, bir a önermesiyle her zaman doğru olan ikinci 1 önermesinin ayrık olduğunu gösterir; bu ayrıklık doğrudur; çünkü ikinci önerme doğrudur. Aynı şekilde a + a veya a x a fazlalıkları belirtir. Boole cebirinde temel hesap kuralları şunlardır:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c),

a + (b x c) = (a + c) x (a + c), ( Birinci kural olağan kurala benziyor, ama ikinci kural benzemiyor.)

Daha önce tanımlanan işlemler arasında, mantıkta önemli bir bağlaç olan gerektirme bulunmuyor. Gerektirme, özellikleri nedeniyle önermeler üzerinde bir sıralama bağıntısı doğurur. Ger-çekten de herhangi üç a, b, c, önermesi için aşağıdaki bağıntılar söz konusudur:

a => b ve b => c ise a => c;

a => b ve b => a ise a = b;

0 => a ve a => 1 dir.

Bu sıralama tam bir sıralama değildir; çünkü herhangi iki a ve b önermesi için a => b ve b => a 'nın ikisi de olmayabilir. Önermeler kümesi bir kafestir.

Boole işlemi çeşitli şekillerde yorumlanabilir; mesela, + ve x işlemleri, kümeler dilindeki birleşim ve kesişim işlemlerine, ayrıca elektrik devrelerine benzetilebilir.