KuanTum Ders NotLaarı

[Jaqen]

BÖLÜM 1
KUANTUM FİZİĞİNE
GİRİŞ
BÖLÜM 2
ATOMLARIN
KUANTUMLU YAPISI
BÖLÜM 3
OPERATÖRLER VE
MATRİSLER
BÖLÜM 4
PERTÜRBASYON
TEORİSİ

KUANTUM FİZİĞİ
BÖLÜM 1

KUANTUM FİZİĞİ-1
BÖLÜM-1
KUANTUM FİZİĞİNE GİRİŞ
1)FİZİK TEORİLERİ:a)Klasik Fizik: Klasik fizik maddeyi makroskopik bir yaklaşımla ele alarak
inceler. Klasik mekaniğin kanunları Newton kanunlarıdır. Klasik elektromanyetizmanın temel
denklemleri ise Maxwell denklemleridir.
b)Görelilik teorisi: Özel görelilik ve genel görelilik olmak üzere iki çeşittir. Özel görelilik ışık hızına
yakın hızlardaki hareketleri inceler. Genel görelilik ise genel kütleçekimi uzayın eğriliğini inceler. Özel
görelilik 1905’de, genel görelilik ise 1915’de Einstein tarafından geliştirilmiştir.
c)Kuantum teorisi: 1900 yılında Planck tarafından ortaya atılmıştır. Molekül, atom, çekirdek, nükleon,
temel parçacıklar ve kuarklar gibi küçük parçacıkları inceler. Bu teori olasılıklar üzerine kuruludur.
Dirac, Heisenberg, Schrödinger, Pauli,...gibi bilim adamları tarafından geliştirilmiştir. Kuantum
mekaniğinin temel denklemi Schrödinger denklemi olarak kabul edilmektedir. Parçacıkların
elektromanyetik etkileşmelerini inceleyen teoriye de Kuantum elektrodinamik denmektedir. 1960’lı
yıllarda Tomanaga, Schwinger ve Feynman tarafından geliştirilmiştir. 1980’li yıllarda da kuarklar
arasındaki etkileşmeyi belirleyen Kuantumkromodinamik (kuantum renk dinamiği) geliştirilmiştir.
2000’li yıllar da ise sicim teorisi üzerine çalışılmaktadır.
2)PLANCK’IN KUANTUM HİPOTEZİ:Bir boyutta  frekansı ile basit harmonik hareket yapan bir
titreşici sistemin kuantum enerjisi En=nh ile belirlidir. Burada n=1,2,3... şeklinde kuntum sayıları h ise
Planck sabitidir (6,62.10-34J.s). Bu durum enerjinin kesikli yani kuantumlu olduğunu belirtmektedir.
3)SİYAH CİSİM IŞIMASI:Bir siyah cisim gelen fotonları (ışık taneciklerini) yutar, sonra onları farklı
frekansta yayınlar. Bu durum klasik fizikte Rayleigh-Jeans teorisi ile açıklanmaya çalışıldı, ancak yüksek
sıcaklıklarda başarısız oldu. Planck, bu durumu Maxwell-Boltzman dağılımını da hesaba katarak açıkladı.
Buna göre Planck’ın ışıma formülü; 1
8 ) ( / 3
3

 kT h T e
d
c
h d 
  
  
dir. Burada T(), enerji yoğunluğu, 
frekens, T sıcaklık, c ise ışık hızıdır.
4)FOTOELEKTRİK OLAY:Metallerin üzerine ışık göndererek elektron sökme olayıdır. 1905 yılında
Einstein tarafından formülüze edilmiştir. h=h0+
2
max 2
1 mv şeklindedir. Yani gelen fotonun enerjisi,
metalin iş fonksiyonu ile sökülen foto-elektronların maksimum kinetik enerjileri toplamına eşittir. Oluşan
foto-akımı durdurmak işin gerekli potansiyele kesme potansiyeli denir.
5)COMPTON OLAYI:Bu olay da foto-elektrik olay gibi ışığın tanecikli yapısını doğrulayan olaydır.
Olay duran bir elektrona bir fotonun çarpıp saçılması olayıdır. Foton saçıldığında dalga boyu değişir. Bu
olay 1922’de Compton tarafından keşfedilmiştir. Fotonun dalga boyundaki değişim
) cos 1 (
0
    
c m
h
dır. Burada , fotonun saçılma açısı, h/m0c ise Compton dalga boyudur (0,024 A0).
6)DE BROGLİE HİPOTEZİ:Hareket eden bütün parçacıklara hareketleri süresince bir dalga eşlik eder,
bu dalgalara de Broglie dalgaları denir. Bu dalganı dalga boyu =h/P dir. Burada P=mV şeklinde
momentumdur. Bu dalgalara kuantum mekaniğinde Schrödinger dalgası ya da olasılık dalgası da denir.
7)BOHR TÜMLEME İLKESİ:1928 yılında Niels Bohr; elektromanyetik ışınımın dalga ya da parçacık
görünümünün birbirini tümlediğini belirtti. Bu durum kuantum mekaniğinde, dalga+tanecik=Dalgataneciği
şeklinde ifade edilmektedir.
8)HEİSENBERG’İN BELİRSİZLİK İLKESİ:Klasik fizik ile kuantum fiziğinin en önemli ayrım
notalarından birisidir. Klasik fizikte herhangi iki fiziksel büyüklük eş-zamanlı olarak istenilen duyarlıkla
belirlenebilir anlayışı vardır. Kuantum fiziğinde ise bu durum belirsizlik ilkesiyle verilmektedir.
Belirsizlik ilkesi; koordinat-ilgili momentum, enerji-zaman ve açısal yerdeğiştirme-ilgili açısal
momentum gibi kavramlar çiftinin eş zamanlı olarak istenen duyarlılıkla belirlenemeyeceğini söyler.
Örneğin atom çevresinde hareket eden bir elektronun konumundaki belirsizlik azalırsa, momentumundaki
belirsizlik artar. Bunların bağıntıları; q.P , t.E , .L şeklindedir.
9)KUANTUM MEKANİĞİNİN POSTÜLALARI:Kuantum mekaniğinde hareketli bir parçacığa eşlik
eden dalga fonksiyonu (x,y,z,t) ile gösterilir. ’nin tek başına anlamı, ya da boyutu yoktur. (x,y,z,t)
2dV ise t anında parçacığın dV=dxdydz hacim elemanında bulunma olasılığını verir. Kuantum mekanik
teori üç ana postüla üzerine kuruludur:
a)0<r< iken (r) sürekli olmalı,0<r< aralığında d(r)/dr sürekli olmalı, riken (r)=0
b)Her fiziksel kavram bir operatör O ile temsil edilir. Operatör dalga fonksiyonuna O=o şeklinde
uygulanır. Burada o, O operatörünün özdeğeridir.
c)Bir operatörün beklenen değeri 

 
 
 


dV
dV O
O
şeklindedir.  normalize edilmiş ise sadece pay
kısmı alınır. Bunun Dirac gösterimi ise <n’l’m’Onlm> şeklindedir.
10)MOMENTUM VE ENERJİ OPERATÖRLERİ:Bir parçacığa eşlik ederek yayılan düzlem dalganın
ifadesi
) ( ) , ( t kx i e t x     şeklindedir. Burada dalga sayısı k=p/ ,  açısal hızı da E/ dır. Buradan
momentum operatörü x i
P


 
, enerji operatörü de t i
H


 
olarak bulunur.
11)OLASILIK AKISI:Bir parçacığın olasılık yoğunluğunun uzayda yer değiştirmesine olasılık akısı
denmektedir. Bu durum bir boyutta,
0 ) , ( . ) , (   

 t x S
t
t x   
şeklinde belirtilir. Bu olasılık akısının ve
yoğunluğunun korunduğunu belirtir.
12)SCHRÖDİNGER DENKLEMİ:Bir parçacığın toplam mekanik enerjisi
U
m
p E  
2
2
şeklindedir.
Momentum operatörü denklemde yerine konur ve H=E den Schrödinger denklemi bulunur.
t
i z y x U
m 
 
      
 ) , , (
2
2
2
zamana bağımlı Schrödinger denklemidir.
      E z y x U
m
)) , , (
2
( 2
2 
zamandan bağımsız Schrödinger denklemidir. Parçacık ışık hızına yakın
hızla hareket ederse toplam enerjisi E2=P2C2+M0
2C4 şeklindedir. Bu durumda parçacığın rölativistik
Schrödinger denklemi
  


  2 0
2
2
2
2 ) ( ) 1 (

c m
t c dir.
13)POTANSİYELLER:Schrödinger denklemi genelde üç potansiyel durumu için çözülür.
a)U=0 serbest parçacık halienklem bir boyutta
  / 2
2
/ 2
1 ) ( x mE i x mE i e N e N x     çözüme sahiptir. Bu
Euler açılımı yardımıyla (x)=Acosk0t+Bsink0t olarak da yazılabilir.
b)U=U0 sabit potansiyeli: Eğer E>U0 ise denklem,
x ik x ik e N e N x 1 1
2 1 ) (     şeklindedir. Burada
) ( 2 0
1
1 U E m k    dır. N1 ve N2 sabitleri sınır koşullarından bulunur. Eğer E<U0 ise denklem,
x k x k De Ce x 2 2 ) (    
şeklinde çözüme sahiptir. Burada ) ( 2 0
1
2 E U m k    dir. Böyle potansiyellere
potansiyel basamağı ve potansiyel engeli denmektedir. Sonlu bir potansiyel basamağında olasılık akıları
2
, ,
, ,
, , g y i
g y i
g y i A
m
k
S


den bulunur. Buna göre basamağın yansıtma katsayısı; R=Sy/Si, geçirgenlik
katsayısı T=Sg/Si ve toplam R+T=1 dir.
c)U=U(x) değişen potansiyeller: Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb
potansiyelleridir. Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların
hareketini kapsar.
14)SONSUZ DERİNLİKTE POTANSİYEL KUYUSUNDA PARÇACIK:Bu potansiyel kuyusu için
sınır koşulları; 0<x<a için U(x)=0, x<0 ve x>a için U(x)= dur. Parçacık kuyu içerisinde serbesttir ve
parçacığın Schrödinger denklemi
0 2
2 2
2
  


mE
dx
d
dır. Bu denklemin çözümü (x)=Asink0x+Bcosk0x
şeklindedir. Burada 2 0
2

mE k 
dir. Sınır şartlarından k0a=n (n=1,2,3..) ve buradan da enerji
2
2 2 2
2ma
n En
 

olarak bulunur. Normalize edilmiş dalga fonksiyonu ise a
x n
a
x n

sin 2 ) (  
olarak
bulunur. Burada n kuantum sayısıdır.
15)HARMONİK TİTREŞİCİ:Bir boyutta basit harmonik hareket yapan bir sistemin hamiltoniyen
operatörü;
2 2
2
2
1
2
x m
m
p H   
şeklindedir. Bunun için Schrödinger denkleminde
x m y
2 / 1





 


ve



n
n
E 2 
değişkenleri değiştirilirse,
) ( ) ( 2
2
2
y y y
dy
d
n n n     





 
denklemi elde edilir. Enerji için En=
  ) ( 2
1  n , dalga fonksiyonu için de
2 / 2 ) ( ) ( y
n n e y N y    elde edilir. Bu fonksiyonun normalize edilmiş
şekli,
2
2 2 / 1 4 / 1 ) ( ) ! 2 ( ) ( ) ( x
m
n
n
n e x m H n m x 
 
 

    
dır. Burada Hn(y)’lere Hermite polinomları denir.
Bazıları şöyledir: H0(y)=1, H1(y)=2y, H2(y)=4y2-2, H3(y)=8y3-12y,...

[Jaqen]

BÖLÜM-2
ATOMLARIN KUANTUMLU YAPISI
1)BOHR ATOM MODELİ:Atom modelleri tarihsel sırasına göre; Thomson, Rutherford , Bohr modeli
ve modern (kuantum) atom modeli şeklindedir. Bohr modelini 1913’de Neiles Bohr, klasik fizikle
kuantum fiziğinin bir bileşimi şeklinde oluşturmuştur. Bohr modeli üç postüla (varsayım) üzerine
kuruludur. 1)Elektronlar ışıma yapmadan belirli yörüngelerde hareket edebilirler. 2)Kararlı seviyelerde
açısal momentum L=n şeklinde kuantumludur. 3)Elektronlar, ancak kararlı seviyeler arasında atlamalar
(geçişler) yaparken ışıma yaparlar. Yapılan ışımanın frekensı enerji seviyeleri arasındaki farka, =(Ei-Es)/
h şeklinde bağlıdır.
Bohr modeli hidrojen ve tek elektronlu atomlara başarıyla uygulanabilmektedir. Merkezkaç ve Coulomb
kuvvetinin etkisindeki elektronun hızı Vn=V1/n şeklinde kuantumlanır. Burada V1=ke2/  ve n kuantum
sayısıdır. Elektronun yörünge yarıçapı da rn=n2r1 şeklinde kuantumlanır. Burada r1= 2 2 /mke  =0,529 A0
şeklinde Bohr yarıçapıdır. Elektronun toplam enerjisi ise; 2 2
4 2 1
2 n
m e k En 
 
şeklinde kuantumludur.
Buradaki sabit terim E1=13,6 eV olup birinci seviyeden (taban durumu) iyonlaşma enerjisidir. Burada m
ise m=memp/(me+mp) şeklinde indirgenmiş kütledir. Bu durumda iki seviye arasındaki geçiş frekansı ise
) 1 1 ( 2 2
i s
I
n n h
E   
şeklindedir ve hidrojenin spektrumu buradan incelenir. Bu bağıntılara rölativistik
düzeltme ve yörünge düzeltmeleri yapılabilmektedir.
2)HİDROJEN ATOMUNUN DALGA MEKANİĞİ:1925 yılında Schrödinger dalga teorisi ortaya
çıkınca atomik yapı da bu yeni teori ile açıklanmak istendi. Bu amaçla yapılan teorik çalışmalar deneysel
gözlemlerle çok iyi uyum gösterdi. Böylece ortaya çıkan yeni atom modeline dalga modeli ya da
kuantum mekaniksel atom modeli dendi. Hidrojen atomu en basit atom ve hidrojen atomunun Coulomb
potansiyeli küresel simetrik olduğu için dalga modelinin en basit uygulamasını oluşturur. Hidrojen
atomunda elektronun zamandan bağımsız Schrödinger denklemi ;
0 ) , , ( ) ( 2 ) , , (
2
2
2           r
r
ke E m r
 şeklindedir. Dik koordinatlar ile küresel koordinatlar arsında
x=rsincos, y=rsinsin, z=rcos ve dV=r2dr sin d d bağıntıları vardır. Küresel koordinatlarda
Schrödinger denkleminin açık şekli
0 ) ( 2
sin
1 ) (sin
sin
1 ) ( 1 2
2 2
2
2 2 2
2
2    





r
ke E m
d
d
r d
d
d
d
r dr
d r
dr
d
r    

  dır. Bu denklem
değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülebilmektedir.  dalga fonksiyonunun değişkenleri (çarpanları), 
(r,,)=R(r ).().() şeklindedir. Burada değişkenler 0    r ,     0 ve  2 0   r
aralıklarındadır. Bu Schrödinger denkleminde yerine konur ve denklem değişkenlere ayrılırsa:
0
2
) 1 ( 2 ) ( 1
2
2 2
2
2
2  




 
   R
mr
l l
r
ke E m
dr
dR r
dr
d
r

 şeklinde yarıçapa bağlı kısım,
0
sin
) 1 ( ) (sin
sin
1
2
2
  





  

 

 
l m l l
d
d
d
d
şeklinde açıya bağlı kısım ve
0 2
2
2
  

l m
d
d
 şeklinde
azimutal açısına bağlı kısım elde edilir. Yarıçapa bağlı kısmın çözümü;
) 2 ( ) 2 (
] )! [( 2
)! 1 ( ) 2 ( ) (
0 0
2 / 1
3
3
0
0
na
zr L
na
Z e
l n n
l n
na
Z r R qj
l na
Zr
nl








 
 
şeklindedir. Burada Lqj ,kuantum sayısı
q=0,1,2... ve j q için Asosiye laguerre polinomudur. Açıya bağlı kısmın çözümü ;
  ) (cos
)! (
)! (
.
2
1 2 ) 1 ( ) ( ,
2 / 1
2 /  
l
l l
m l
l
l m m P
m l
m l l









 
   
şeklindedir. Buradaki Pl,ml(cos) Asosiye legendre
polinomudur. Azimutal açısına bağlı kısmın çözümü ise


 l im e  
2
1 ) (
şeklindedir. Açılara bağlı
çözümlerin bileşimine Ylm(,) küresel harmonikler denir.
Burada, n baş kuantum sayısı,  yörünge kuantum sayısı, m manyetik kuantum sayısıdır.
n=1,2,3,...,,  =0,1,2,...,(n-1), m=-  ,....0,.....+ dir.
Hidrojen atomunun enerjisi Bohr modelindeki ile aynıdır. Fakat yarıçap hem baş kuantum, hem de
yörünge kuantum sayılarına
  ) 1 ( 3
2
2 0    l l n
Z
a
rn şeklinde bağlıdır. Bu yarıçapın beklenen değeridir (<rn
>). Burada a0 Bohr yarıçapı, Z atom numarasıdır. Schrödinger denkleminden elde edilen çözümler
birleştirilerek genel çözüm zamana da bağlı olarak; ) , , , ( , , t r m n     şeklinde bulunur. Örneğin;
0 / 2 / 3
0
100 ) ( 1 a Zr e
a
Z   
 dır.
3)OLASILIK DAĞILIM FONKSİYONU:İstatistik fizikte, olasılık yoğunluğuna bağlı bir olasılık
dağılım fonksiyonu Q(r,,)=(r,,)dV=*  dV ile tanımlanır. Burada dV=r2dr sind d dir. Bu
durumda oalsılık dağılım fonksiyonu Q(r,,)=
  
  
   
0
2
0 0
) ( ) ( ) ( d P d P dr r p
şeklindedir.
4)AÇISAL MOMENTUM:Açısal momentum ifadeleri Schrödinger denkleminin Coulomb potansiyeli
ile çözümünde dalga fonksiyonunun sağlaması gereken sınır koşullarından çıkmaktadır. Bu kuantum
mekaniksel teoride yörünge açısal momentumudur.  ) 1 (   l l L şeklindedir. Burada l yörünge açısal
kuantum sayısıdır. yörünge açısal momentumun z bileşeni de  l z m L  dır. Burada l m yörünge manyetik
kuantum sayısıdır. Bir de elektronun kendi etrafında dönmesi ve yönelimiyle ilgili spin açısal
momentumu vardır. Bu da yörünge açısal momentuma benzer olarak  ) 1 (   s s S dir. Burada s spin
açısal kuantum sayısıdır. S’nin z bileşeni  s z m S  dır. Burada ms spin manyetik kuantum sayısıdır ve
elektronlar için 1/2 dir. Kuantum mekaniğinde bu açısal momentumların yanısıra; elektronun toplam
açısal momentumu J, çekirdeğin spin açısal momentumu I ve atomun toplam açısal momentumu F
tanımlanmıştır. Bunların bağıntıları da diğer açısal momentumlara benzerlik gösterir. Atomların spektral
serilerinin adlandırması açısal momentum kuantum sayılarına göre yapılır.
5)PAULİ SPİN MATRİSLERİ:Pauli, elektron, proton, nötron...vb spin kuantum sayısı ½ olan
parçacıklar için spin matrisleri tanımlamıştır. Bu matrisler;







0 1
1 0
x 
,





 

0
0
i
i
y 
,








1 0
0 1
z 
dır. Spin açısal momentumları da Sx=(1/2) x   , Sy=(1/2) y   Sz=(1/2) z   dir.
Bu parçacıkların uzayı iki boyutludur ve iki tane spin dalga fonksiyonuna (spinör) sahiptirler. Spin
uzayını geren







0
1

(spin yukarı),







1
0

(spin aşağı) şeklinde baz vektörleri vardır. Kuantum
sisteminin herhangi bir halindeki spin dalga fonksiyonu, a2+b2=1 olmak üzere,






  
b
a
b a s sm   
şeklindedir. Hidrojen atomunun dalga fonksiyonu, konum, zaman ve spine bağlı olarak çok daha geniş
şekilde yazılabilir.
6)DİPOL MOMENTLER:Her açısal momentuma bir dipol momenti eşlik eder. Dipol momenti de açısal
momentum gibi vektörel bir niceliktir.
a)Elektronun dipol momenti:r yarıçaplı Bohr yörüngesinde dolanan bir elektron bir i akımı oluşturur.
Bu akım halkasının dipol momenti =iA=(-ev/2r)r2 dir. Bu bağıntı L=mvr=  ) 1 (  l l ile
birleştirildiğinde,
) 1 (
2
   l l
m
e
l
 
şeklinde yörünge dipol momenti bağıntısı elde edilir. Burada
m
e
B 2
  
Bohr manyetonudur. Yörünge dipol momenti, yörünge açısal momentum ve yörünge
Lande çarpanı (g) nı içerecek şekilde
L g B l
l


 
 
olarak da yazılabilir. Burada
1 ) / /( ) / (    
  L g B l l   dir. Yörünge dipol momentin yörünge açısal momentuma oranına ise yörünge
jiromanyetik oran denir ve  ile gösterilir.
Yörünge dipol momentine benzer olarak spin dipol momenti
S g B s
s


 
 
şeklindedir. Burada gs=-2
olup, spin Lande çarpanı olarak adlandırılır. Elektron için spin kuantum sayısı s=1/2 olduğundan spin
dipol momentunun büyüklüğü B s   3   dir. Elektronun spin jiremanyetik oranı gsb/  =s dir.
b)Elektronun toplam dipol momenti:Elektronun toplam açısal momentumu S L J
  
  dir. Buna göre
toplam dipol moment SJ s LJ l s l j        cos cos       
şeklindedir. Burada cosLJ=(J2+L2-S2)/2JL ve
cosSJ=(J2+S2-L2)/2SJ dir. Buradan toplam dipol moment, ) 1 (   j j g B j j   olarak bulunur. Burada
) 1 ( 2
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1

    
 
j j
l l s s j j g j
dir. Toplam açısal kuantum sayısı olan j, ) ( ) ( s l j s l     aralığında
değerler alır.
c)Çekirdek dipol momenti:Bir atomun çekirdeği nükleonlardan (proton, nötron) oluşur. çekirdek
içerisindeki nötron ve protonlar spin hareketi yaparlar. Bu nedenle çekirdek içinde çok sayıda, proton ve
nötron spin dipol momentleri vardır. Bunlar çiftlenirler, çiftlenmemiş olarak kalan dipol momentler
çekirdeğin dipol momentini oluşturur. Çekirdeğin spin açısal momentumu  ) 1 (   i i I şeklindedir.
Benzetme yolu ile çekirdeğin spin dipol momenti
I g N i
i


 
 
olarak bulunur. Burada p
N m
e
2
  
nükleer manyetondur.
d)Atomun toplam dipol momenti:Atomun elektronlarından ve çekirdeğinden kaynaklanan dipol
momentlerin toplamı i j f         şeklindedir. Atomun toplam açısal momentumu  ) 1 (   f f F
şeklinde, f toplam açısal momentum kuantum sayısına bağlıdır. f kuantum sayısı ) ( ) ( i j f i j    
aralığında değerler alır. Atomun toplam dipol momenti vektör modeli çerçevesinde hesaplandığında
vektörel olarak
F
g B f
f


 
 
şeklinde yazılabilir. Burada
) 1 ( 2
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
1836 ) 1 ( 2
) 1 ( ) 1 ( ) 1 (

    


    

f f
j j i i f f g
f f
i i j j f f g g j
i f
dir
7)LARMOR FREKANSI:Bir topacın hareketi incelendiğinde, topacın kendi simetri ekseni etrafında bir
spin hareketi yapmakla birlikte, çekim alanı doğrultusu (düşey) etrafında da bir presesyon hareketi
yaptığı gözlenir. Bu hareketin aynısı bir dış manyetik alan içerisine konan manyetik dipol momentlerinde
de gözlenir. Manyetik dipol momentlerinin dış manyetik alan etrafındaki presesyon frekansına larmor
frekansı denir. Bu temel parçacıkların, atomların, moleküllerin dış manyetik alan içindeki davranışlarını
açıklamada önemli yer tutar. Manyetik modelde tork dt S d B s / 0
         dir. Presesyon hareketinin
Larmor frekansı spin dipol momenti için 0
0 B B g
s
B s
s 

  
 , yörünge dipol momenti için 0 B l l   
, elektronun toplam dipol momenti için 0 B j j    dır.
8)MANYETİK REZONANS:Kuantum sistemlerinin kendilerine özgü özfrekansları vardır. Örneğin bir
sistemin larmor frekansı onun öz frekansıdır. Larmor frekansı jiromanyetik orana ve dış manyetik alan
şiddetine bağlıdır. Kendi öz frekansı ile titreşmekte olan bir kuantum sistemini uyarmak (rezonansa
getirmek) için, B0 alanına dik doğrultuda bir radyo frekansı alanı (rf) uygulanır. Bunun için gerekli rf alanı
B(t)=2B1cos1t şeklindedir. Bu durumda dipol moment 0=B0 frekanslı ve 1=B1 frekanslı iki torkun
etkisinde kalır. Burada 1 değiştirilebilen frekanstır. Bu frekans değiştirilerek 1=0 (rezonans şartı)
yapıldığında sistem, B0 etrafında presesyon hareketini sürdürmekle birlikte, B1 etrafında da aynı frekanslı
presesyon yapmaya başlar. Bu durumda sistem yeni bir enerji seviyesine geçişe başlar. Bu geçişlerde
sistem dışarıdan (rf alanından) enerji soğurur. Rezonans şartı sağlandığında sistem bir enerji seviyesinden
diğerine geçmek üzere bir “flip-flop” spin yönünün ters çevrilmesi ()hareketi yapar. İşte bu
geçişlere rezonans geçişleri denir. Bu olay manyetik alanla oluşturulduğu için buna manyetik rezonans
denir.
9)RABİ-REZONANS DENEYİ:Lande spektroskopik yarılma çarpanlarının değerleri, bazı
kuantumelektrodinamik etkiler sonucu Dirac değerlerinden, az da olsa farkederler. Bu farklılık kısaca
) 1 (
p
e
l M
m
g   
ve gs=-2,0022.... şeklindedir. Farklılığı yaratan etkileşmelerin başında; çekirdeğin sonlu
kütle düzeltmesi, elektronun rölativistik kütle ya da enerji düzeltmesi, virtüel ışıma, boşluk kutuplanması,
aynı J değerindeki seviyelerin karışımı (configuration mixing),....dir. Lande spektroskopik yarılma
çarpanını ölçmek, atomik spektroskopi araştırmalarında önemli yer tutar. Bu çarpan 0
0
). / ( B h
g
B 


bağıntısından deneylerle bulunur. Burada 0 rezonans frekansıdır. Bu da ADMR spektrometresiyle
belirlenebilmektedir.
10)BREİT-WİGNER REZONANS FORMÜLÜ VE LORENTZ ÇİZGİ ŞEKLİ: Kuantum
sistemlerinin enerji kuantum seviyeleri arasında yaptığı geçişlerde salınan fotonların genliği sönümlüdür.
Atomlarda uyarılma seviyelerinin ortalama ömrü 10-8s kadardır. Salınan fotonların genliği As(t)=Aose-(t/2)ei
t şeklinde zamana bağlıdır. Kuantum sisteminin
t i e F t F 1
0 ) (    ile dış kaynak tarafından sürülmesi
sonucunda salınımın diferansiyel denklemi;
t i
z
z e F t A i
dt
t dA 1
0 ) ( )
2
1 ( ) ( 

    
şeklindedir. Zorlamalı haldeki bu denklemin kararlı hal çözümü
t i
z e
i
iF
t A 1
2 / ) (
) (
0 1
0 
  

 

dır. 1=0 durumu rezonans soğurmasıdır. Sistemden saçılan ışık şiddeti
genliğin karesiyle orantılıdır. Buna göre saçılmaya uğrayan ışık şiddeti;
2 2
0 1
2
0 1 ) 2 / 1 ( ) (
) 2 / 1 ( ) ( ) (
  

 
 
 S S
şeklindedir ve buna Breit-Wigner rezonans formülü denir. Bu
bağıntıda 1 ) ( 0   S ve S(1)=L(1) alındığında oluşan fonksiyona Lorentz dağılımı, bunun grafiğine de
Lorentz çizgi şekli denir.
11)DİRAC -FONKSİYONU:Kuantum fiziğinde dalga fonksiyonunun iç çarpımı ile ilgili Kronecker-
kavramı vardır. Bu kavram; 




    
' 0
' 1
' ' ' n n
n n
n n nn n n 
şeklinde olup, buna  fonksiyonlarının
ortonormallik şartı denir. Dirac- ise kesikli değil, sürekli bir fonksiyondur. Bu fonksiyon; xx0 da
0 ) ( 0   x x  , x=x0 da (x-x0)= ve


 
 1 ) ( dx x 
dur. Bir çok dağılım fonksiyonunun limit hali Dirac-
fonksiyonuna dönüşür. Örneğin; Gauss dağılımı

  
 / 2 1
0
lim 1 ) ( x e x 


, Lorentz dağılımı
2 2 0
lim 1 ) (




 

 x
x
şeklindedir. Dirac- vektörel gösterimde ise


 
  ) ( ) ( ) ( 0
3
0 r f r d r r r f      
dır.
Mehmet TAŞKAN
KAYNAKLAR:
1)”Kuantum Fiziği” –Prf.Dr.Erol AYGÜN-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları-
2.Baskı-1992
2)”Atom ve Molekül Fiziği”- Prf.Dr.Erol Aygün-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin-Ankara Üniversitesi
yayınları-1992
3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-Çevoç.Dr.M.Çetin-Doç.Dr.H.yıldırım-
Prf.Dr.Z.Gülsün. Dicle Ünv.yayınları-2,baskı-1989......
4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr C.J.Joachain, Çevirenler:Prf Dr F.Köksal, Prf
Dr H.Gümüş, On dokuz Mayıs Ünv.
5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr C.Önem, Erciyes Ünv, 3.baskı, Birsen Yay.
6)Physics-part 2, Prf Dr D.Halliday, Prf Dr R.Resnick, Wiley International Edition.
7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr T.Nuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2.Baskı.
KUANTUM FİZİĞİ-2
BÖLÜM-3
OPERATÖRLER VE MATRİSLER
1)MOMENTUM KOMÜTASYON BAĞINTILARI:
a)Çizgisel momentum:Çizgisel momentum operatörünün dik koordinatlatdaki bileşenleri; Px=-i  d/dx,
Py=-i  d/dy, Pz=-i d/dz dir. Bir Px operatörünün x ile komütasyon bağıntısı [Px,x]=Px.x-x.Px ile tanımlı
olup bu işlemin sonucu sıfır çıkarsa Px ve x birbirinden tamamen bağımsızdır ve eşzamanlı olarak istenen
duyarlıkla ölçülebilir demektir. Sıfırdan farklı olması Heisenberg’in belirsizlik ilkesine götürür. Buna
göre; [Px,x]=[Py,y]=[Pz,z]=-i ve [Px,y]=[Py,z]...gibi komütasyonlar sıfırdır.
b)Yörünge açısal momentum:Yörünge açısal momentum operatörü P r L
  
  dir. Bunun dik koordinat
sistemindeki bileşenleri;











 
y
z
z
y i Lx 
,











 
z
x
x
z i Ly 
,











 
x
y
y
x i Lz 
şeklindedir. Bunlar küresel koordinatlarda ise;  

   i Lz
,











 

 

 sin cot cos  i Ly
,













 

 cos cot sin  i Lx
dir. Buna göre L2 operatörü








 









  2
2
2
2 2
sin
1 sin
sin
1
  

 
 L
şeklindedir.
L’nin komütasyonları; [Lz,y]=i z, [Ly,z]=i  x, [Lz,z]=i  y olup, bunların zıt yönlüleri negatif, aynı tür
bileşenler sıfır değerindedir. Açısal momentum bileşenlerinin birbirleriyle komütasyonu da; [Lx,Ly]=[Lx,z]
Px+x[Pz,Lx]=i  (xPy-yPx)=i  Lz, diğer bileşenler de [Ly,Lz]=i  Lx, [Lz,Lx]=i  Ly şeklindedir. L’nin bütün
bileşenlerinin L2 ile komütasyonu ise sıfırdır.
c)Yükseltme ve alçaltma operatörleri:Küresel harmonik Ym(,) ler açısal momentum operatörlerinin
öz fonksiyonlarıdır. Yükseltme operatörü Ym(,) ye uygulandığında kuantum sistemi Ym+1(,) olan
seviyeye geçer, alçalma operatörü uygulandığında Ym-1(,) seviyesine geçer. Açısal momentumun
yükseltme operatörü L+=Lx+iLy, alçaltma operatörü de L-=Lx-iLy şeklindedir. Bu operatörlerin
komütasyonları; [Lz,L+]= L+, [Lz,L-]=- L- ve [L+,L-]= 2 Lz şeklindedir. Bir operatörün antikomütatörü
ise [A,B]+=A.B-B.A şeklinde tanımlanır.
d)L2 ve Lz nin özdeğer denklemleri:L2nin özdeğer denklemi ) , ( ) 1 ( ) , ( 2 2     lm lm Y l l Y L    , beklenen
değeri ise
2 2 ) 1 ( ) , ( , (     l l Y L Y lm lm    
dir. Buradan L’nin beklenen değeri  ) 1 (    l l Y L Y lm lm
şeklinde olmaktadır. Lz’nin özdeğer denklemi ) , ( ) , (     lm lm z Y m Y L   , beklenen değeri ise
 m Y L Y lm z lm   şeklindedir.
2)HEİSENBERG MATRİS MEKANİĞİ:Heisenberg fiziksel büyüklükleri gösteren operatörleri
matrislerle ifade etmiştir. Matris mekaniğinde özfonksiyonlar birer kolon matrisleri ile gösterilir. Matris
elemanları da operatörün beklenen değerlerinden ibaret olan birer matrisle temsil edilirler. Matrisin
elemanları ilgili operatörün o uzaydaki spektrumunu oluşturur. Operatörü temsil eden matrisin mertebesi
(rankı) bağımsız özfonksiyon-uzayının boyutu ile belirlidir. Bir operatörün uzayını geren bazvektörlerinin
skaler çarpımı; <mn>=(*
1 *
2 *
3.........)





        















 
n m
n m
mn 0
1
....
.
2 2 1 1
3
2
1

şeklindedir.
3)AÇISAL MOMENTUM OPERATÖRLERİNİN MATRİS ELEMANLARI: Her fiziksel kavram,
gözlenebilir bir gerçek sayı ile ifade edildiğinden, bunların operatörleri hermitiktir ve ilgili matris
köşegendir. Köşegen matrislerin matris elemanları, yani ilgigi operatörün beklenen değeri, kuantum
sayıları ve Kronecker- ile ifade edilirler. Her matrisin rankı ilgili manyetik kuantum sayısının alabileceği
farklı değerler sayısı ile belirlidir. s s m m s s s s sm S sm ' ) 1 ( '     
s s m m s s z s m sm S sm ' '    
l l m m l l l l lm L lm ' ) 1 ( '     
l l m m l l z l m lm L lm ' '    
1 , ' ) 1 ( ) 1 ( '        m m m m l l lm L lm  
m m j j jm J jm ' ) 1 ( '     
1 , ' ) 1 ( ) 1 ( '        m m m m j j jm J jm  
      1 , '
2 / 1
1 , '
2 / 1
2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( '            m m m m x m m j j m m j j jm J jm   
m m z m jm J jm ' '    
4)ORTOGONAL DÖNÜŞÜM:Yalnız özdeğerleri birbirinden farklı olan matrisler köşegen matris
yapılabilirler. Yani öz-vektörleri lineer bağımsız olan matrisler köşegen yapılabilir. Hermitik matrisler,
Hmn=H+
mn (simetrik) olduklarından köşegen yapılabilen matrislerdir. Matrisi köşegen yapmak; verilen
matrisin baz vektörlerini döndürerek onun tüm köşegen-dışı elemanlarının sıfır olduğu yeni bir bazvektörleri
uzayı bulmak demektir. Koordinat sisteminin bu şekilde döndürülmesine ortogonal dönüşüm
denir.
H hamiltoniyen matrisini köşegen yapmak için normalize edilmiş k özfonksiyonlar cümlesinden
yararlanılır. Hk=Ek ve H-Ek=0 dır. k  0 olacağından, katsayılar determinantı H-E=0 olacaktır. Bu
da
0
....... ....... ........
......
......
21 21
12 11
 

E H H
H E H
şeklindedir. Buradaki k=


N
n
n knu a
1 şeklinde olup,
ak12+ak22+........+akn2=1 dir. Verilen köşegen olmayan bir matrisi köşegen biçimine çevirecek bir
rotasyon matrisi tanımlanır. Bu k vektörünün un bazına;
 










    
NN N
N
n
a a
a
a a
R
....
... ....
...
) ( )......... ).( (
1
22
1 11
2 1
şeklinde bağlıdır. Rotasyon matrisi kullanılarak Hamiltoniyenin beklenen değeri, E=R.H.R matris
çarpımı olarak bulunur.

[Jaqen]

BÖLÜM-4
PERTÜRBASYON TEORİSİ
1)PERTÜRBASYON TEORİSİ:Küçük değişimler teorisidir. Bir çeşit yaklaşık hesap yöntemidir. En
geniş uygulama alanı atom fiziği ve parçacık fiziğinde bulur. Atomların enerji seviyeleri kuantumlu bölge
ve sürekli bölge olmak üzere iki biçimde ele alınır. Bu nedenle pertürbasyon da: 1)Bağımlı durumların
pertürbasyonu, 2)Sürekli bölge pertürbasyonu (saçılma teorisi) olarak iki bölümde ele alınır. Bağımlı
durumların pertürbasyonu da zamandan bağımsız ve zamana bağımlı olmak üzere iki ana başlık altında
toplanır. Pertürbasyon teorisinde; pertürbe olmamış hamiltoniyen H(0) ile pertürbasyon hamiltoniyeni H(1)
arasında H(1)<<H(0) ilişkisi vardır.
2)ZAMANDAN BAĞIMSIZ PERTÜRBASYON:
a)Dejenere olmayan ve durağan bir seviyenin zamandan bağımsız pertürbasyonu:
Bu konu literatürde Rayleigh-Schrödinger pertürbasyonu olarak bilinir. Bir sistemin toplam
hamiltoniyeni H=H(0)+H(1)=H(0)+H’ olup bunun çözümleri; En=En
(0)+En ve n=n
(0)+n şeklindedir.
Burada 10 aralığında düzeltme parametresidir. n fonksiyonu ve En pertürbe olmuş enerji =0
civarında Taylor serisine açılmakta ve Hn =Enn den ’ya göre pertürbasyonun mertebesi
belirlenmektedir. 00.mertebe, 11.mertebe, 22.mertebe....
i)Birinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda ank
(1)Ek
(0)+<k
(0)H’n
(0)>=En
(0)ank
(1)+An
(1)kn şeklindedir.
Buradan k=n dan; pertürbe edilmiş enerji
      ) 0 ( ) 1 ( ) 0 ( ) 0 (
n n n n H E E
şeklinde bulunur. kn için de
k.pertürbe olmamış fonksiyonun pertürbe olmuş dalga fonksiyonuna katkısı
) 0 ( 0
) 0 ( ) 0 (
) 1 ( '
k n
n k
nk E E
H
a

 

şeklindedir. bu durumda birinci mertebeden pertürbe olmuş n. dalga fonksiyonu




   
   
n k
k
k n
n k
n n E E
H ) 0 (
) 0 ( ) 0 (
) 0 ( ) 1 ( ) 0 (
) 0 (
dır.
ii)İkinci mertebeden yaklaşım:Bu durumda enerji ve dalga fonnksiyonlarına ikinci mertebeden yaklaşım
ek terimleri gelir. Enerji için bu
) 0 ( 0
2 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 (
) 2 (
k n
n k
n k
n E E
H
E

 

 dur.
b)Durağan ve dejenere bir seviyenin pertürbasyonu: Herhangi bir seviyenin kaç katlı dejenere olduğu,
yani dejenereliğin mertebesi


  
1
0
2 ) 1 2 (
n
l
n n l D
olarak verilir. Atomlarda taban durumu hariç diğer
seviyeler dejeneredir. Dejenere seviyeleri ayırmak için atoma dışardan elektrik ve manyetik alan
uygulanır. Dejenere pertürbasyonun matematiği bir matrisi köşegen yapmaktan ibarettir. Herhangi bir n
seviyesi n2-katlı dejenere olmakla birlikte, matematiksel işlemleri kısa tutmak için n seviyesi 2-katlı
dejenere olarak kabul edilebilmektedir. Bu durumda En
(0)seviyesine karşılık n1
(0) ve n2
(0) gibi iki tane öz
fonksiyon vardır. Yarılmadan ortaya çıkan enerjiler ve bu özfonksiyonlar seriye açılarak, gerekli
matematiksel işlemler sonunda H11
(1)C11+H12
(1)=En1
(1)C11 ve H21
(1)C11+H22
(1)=En1
(1)C12 bulunur. Bu iki
denklem matris çarpımı şeklinde yazıldığında, çözüme sahip olması için, katsayılar determinantları
0 ) 1 (
1
) 1 (
22
) 1 (
21
) 1 (
12
) 1 (
1
) 1 (
11 


n
n
E H H
H E H
,
0 ) 1 (
2
) 1 (
22
) 1 (
21
) 1 (
12
) 1 (
2
) 1 (
11 


n
n
E H H
H E H
olmalıdır. Bu determinatlara seküler
determinantlar denir ve birinci mertebeden enerji düzeltmeleri buradan bulunabilir. Bu durumda yeni
baz vektörleri n1=C11n1
(0)+C12n2
(0) ve n1=C21n1
(0)+C22n2
(0) dır. Burada C112+C122=C212+C222=1 dir.
Bu pertürbasyon durumu için Stark Olayı önemli bir örnek oluşturur.
c)Varyasyon metodu: Bu metotta pertürbasyonun beklenen değerini hesaplamak yerine, Hamiltonifenin
kendisinin beklenen değerini hesaplamak isteriz, E=<H>. Hamiltoniyenin beklenen değeri o kuantum
sisteminin uygun bir parametresinin <H>=f(Z) fonksiyonu olarak ifade edilir. Bu fonksiyonun minumum
değeri
0 ) ( 

  
Z
Z H
dan bulunur. İşte bu denkleme varyasyon ilke denklemi denir. Parametreye (Z)
göre türev alınarak bulunan ifadenin çözümünden elde edilen parametre değeri enerjinin minumumuna
(taban enerji seviyesine) karşılık gelen Zet (etkin) değerdir. Buna He atomu iyi bir örnektir.
3)ZAMANA BAĞLI PERTÜRBASYON:Zamana bağlı pertürbasyonda bir kuantum sisteminin içinde
bulunduğu kuantum seviyesinden, zaman içinde diğer bir kuantum seviyesine geçişin kuralları incelenir
ve belirlenir. Bu tür değişimlere, foton soğurulma ya da ,, ....parçalanmaları ve her türlü uyarılmalar
örnek oluşturur. Bu tür değişimler kendiliğinden oluşabileceği gibi, kuantum sistemi bir dış etken
(pertürbasyon) tarafından uyarılarak da oluşturabilir. Zamana bağlı pertürbasyonda bu geçişlerin hızının
bulunması ve sistemin ilk seviyede bulunma olasılığının azalışının ve son seviyede bulunma olasılığının
artışının hesabı yapılır.
a)Olasılık genliği ve geçiş hızı:Bu durumda olasılık genliği an(t)’ye de bağlı olarak dalga fonksiyonu
     e t
E
n n
n r t a t r  ) ( ) ( ) , (
dır. Hamiltoniyen operatörü H(t)=H(0)+H(1)(t) olup, Schrödinger denklemi de
H(r,t)=i [(r,t)/t] şeklindedir. H ve  yerlerine konup denklem çözüldüğünde geçiş hızı
 
n
t i
n kn
k kn e t a H
i dt
t da  ) ( 1 ) ( ) 1 (
 olur. Sistemin her hangi bir t anında k seviyesinde bulunma olasılığı ise,
2
) 1 (
2
2 ) 1 ( 1 ) ( 
 

t
t i
km k
km e H t a 
 dır. Bu birinci mertebeden yaklaşımdır.
b)Sabit pertürbasyon: Hkm
(1)’nin zamandan bağımsız olması durumundaki pertürbasyona sabit
pertürbasyon denmektedir. Bu durumda geçiş olasılığı
2
0 2
2
2 ) 1 (
2 ) 1 (
2
2
sin
. ) (







km
km
km
k
t
H
t a



dir. Bir m
seviyesinden k seviyelerine (k enerji bandı) toplam geçiş olasılığı, m seviyesindeki enerji yoğunluğuna
bağlı olarak,



 d
t
E
H
P m
km 
 
  





 2
0 2 2 ) 1 (
2
2
)
( sin
) (

şeklindedir.
c)Harmonik pertürbasyon: Pertürbasyon operatörünün zamana göre t Cos H t H  ) 0 ( ) ( ) 1 ( ) 1 (  şeklinde
değişimi harmonik pertürbasyonu ifade eder. Bu durumda mk geçişinde pertürbasyon genliği;
   








 

   1
) (
1 1
) (
1
2
) 0 (
) ( ) ( ) (
) 1 (
) 1 ( t i
km
t i
km
km
k km km e
i
e
i i
H
t a    
     şeklinde olur. Burada kuantum
sisteminin kendi öztitreşim frekansı km, zorlayıcı dış etkenin frekensı da  dır. Bu durumda enerji farkı
E=   şeklinde olup, + uyarmalı salınım, - uyarmalı soğurma geçişini belirtir. =km rezonans şartında
sistem pertürbasyon alanından maksimum enerji soğurur.
d)Elektrik dipol seçim kuralları: Dış uyarıcı (pertürbasyon) ile oluşan geçişler için belirli kurallar
vardır. Elektrik dipol geçişler için pertürbasyon operatörü (yani rf alanı), elektrik dipol moment r e D  
 
olmak üzere, H(1)(t)=e.r.1Cost dir. Bir m seviyesinden k seviyesine geçiş olasılığı Pmk ‘da <kDm>=0
(yasaklı geçiş), <kDm>0 (izinli geçiş) söz konusudur. Dalga fonksiyonlarının paritesi
l ) 1 ( ile
belirlidir.  1   l şeklinde açısal momentum kuantum sayısındaki değişime elektrik dipol seçim kuralı
denir. Buna göre; elektrik dipol geçişler ancak farklı pariteli seviyeler arasında olabilmektedir. Bunun
dışında manyetik kuantum sayısındaki değişimlere bağlı olarak, m=0 (-polarizasyonu), m=1 (-
polarizasyonu) dır. Dış elektromanyetik alanların kuantum sistemlerini uyarması ile de geçişler olabilir.
Bu durum atomik sistemlerde çok-kutuplu ışımalara yol açabilmektedir...
Mehmet TAŞKAN
KAYNAKLAR:
1)”Kuantum Fiziği” –Prf.Dr.Erol AYGÜN-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin, Ankara Üniversitesi Yayınları-
2.Baskı-1992
2)”Atom ve Molekül Fiziği”- Prf.Dr.Erol Aygün-Doç.Dr.D.Mehmet Zengin-Ankara Üniversitesi
yayınları-1992
3)”Çağdaş Fiziğin Kavramları”-Arthur Beiser-Çevoç.Dr.M.Çetin-Doç.Dr.H.yıldırım-
Prf.Dr.Z.Gülsün. Dicle Ünv.yayınları-2,baskı-1989......
4)Atom ve Molekül Fiziği, Prf Dr B:H:Bransden, Prf Dr C.J.Joachain, Çevirenler:Prf Dr F.Köksal, Prf
Dr H.Gümüş, On dokuz Mayıs Ünv.
5)Fizikte matematik metotlar ,Prf Dr C.Önem, Erciyes Ünv, 3.baskı, Birsen Yay.
6)Physics-part 2, Prf Dr D.Halliday, Prf Dr R.Resnick, Wiley International Edition.
7)Katıhal fiziğine giriş, Prf Dr T.Nuri Durlu, Ankara Ünv, 1992 2.Baskı.