Modüler Aritmetik Ne Demektir
a ve b tamsayıları verilen bir m pozitif tamsayısına bölündüklerinde, aynı kalanı verirse “a tam sayısı, b tam sayısına, m modülüne göre denktir” denir. a ≡ b (mod m) şeklinde gösterilir.

a ≡ b (mod m) ifadesi aynı zamanda a – b, m ile bölünür. Ya da m, a – b yi böler şeklinde de ifade edilir.

[Link'i Görebilmeniz İçin Kayıt Olunuz.! Kayıt OL]

Modüler Aritmetik Özellikleri
Her a, b, c, d, x ∈ Z ve m, n ∈ Z+, m > 1 için;
a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise,
1, a ± c ≡ b ± d (mod m)
2. a . c ≡ b . d (mod m)
3. a ± x ≡ b ± x (mod m)
4. a . x ≡ b . x (mod m)
5. an ≡ bn (mod m)

Modüler Aritmetikte Kalan Sınıfları Nedir?
Örnekte olduğu gibi, tam sayılar kümesinde, β = {(a, b) | a ve b nin 5 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar aynıdır.} bağıntısı ile tanımlanır. Bunu genelleştirirsek, tam sayılar kümesi üzerinde her m ∈ Z+ için, β = {(a, b ) | a – b, m ile bölünür.} bağıntısı vardır.
Bu özeliklere göre, β bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. β denklik bağıntısı, tam sayılar kümesini denklik sınıflarına ayırır.
Bir a tam sayısı 5 e bölündüğünde kalan 0, 1, 2, 3, 4 sayılarından biri olur. Buna göre, tam sayılar kümesi 5 modülüne göre, kalanlar sınıflarına (denklik sınıflarına) ayırır.
Herhangi bir m sayısına göre kalan sınıfları Z/m = {0, 1, 2, 3, …, m-1}

Bu konu anlatımı videolarında Modüler Aritmetik Nedir,Denklik sınıfları, Denklik Bağıntısı Nedir başlıkları çözümlü sorular yer almaktadır. Konu ile alakalı testleri yazının altındaki linklerden indirebilirsiniz.

Diğer Bir Tanım
a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,
b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}
bir denklik bağıntısıdır.
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) € b için,
a ≡ b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir.
Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir.
Buna göre,

Ü
n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve
a ≡b (mod m)
c ≡ d (mod m)
olmak üzere,

a + c ≡ b + d (mod m)
a – c ≡ b – d (mod m)
a × c ≡ b × d (mod m)
an ≡ bn (mod m)
a – b º≡ 0 (mod m)
k × a ≡ k × b (mod m) dir.
n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise dir.
a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.

deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.
x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,
xm–1 ≡1 (mod m) dir.
x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.
x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,

m asal sayı ise,
(m – 1)! + 1 ≡ 0 (mod m) dir.

Modüler Aritmetik Günlük Hayatımızda Nerelerde Kullanılır
Modüler aritmetik, günlük hayatımızda en çok kullanılan yer saat sistemleridir.

12 ve 24 olmak izere iki çeşit saat mod.u kullanırız. 12 lik sistemde saat öğleden sonra 2 ise bu mod 24 de 14 e eşittir.

Aynı şekilde haftanın günleri de mod 7 vardır. Her 7 günde bir günler devreder.

Bunlar dışında bilgisayar sistemlerinde oldukça geniş uygulama alanına sahiptir.

Kriptoloji de modüler artimetiğin yer aldığı başka bir alandır.